一維時間序列重構無刷直流電動機混沌吸引子特征

    閏世杰¹，曹繼偉²，王長義¹

(1渤海船舶職業學院，遼寧葫蘆島125000；2.沈陽工業大學，遼寧沈陽110023)

    摘要：基于相空間重構原理，針對無刷直流電動機的混沌模型，運用一維時間序列在高維情形下對低維混沌吸引子進行重構，重構后的方程具有和原動力方程相同的動力學特性，并通過基于混沌優化算法的改進方法對重構前后方程的]yapunov指數進行比較，并通過與小波變換后的相圖比較證明了重構方法的實用性。結果表明：采用的重構方法是有效的，與前人的方法比較具有簡單、快速的特點，為進一步研究混沌預測和混沌控制提供了基礎條件。

    關鍵詞：相空間重構；時間序列；吸引子；無刷直流電動機；混沌

    中圖分類號：TM33  文獻標識碼：A  文章編號：1004—7018(2008)05—0018—03

0引言

    無刷直流電動機是一個多變量、強耦合、非線性的系統，在實際運行過程中經常出現一些不規則的現象，如轉矩的劇烈震蕩、噪聲和不穩定運行等^[1]，這些現象都會嚴重影響無刷直流電動機的性能，所以有必要研究這些現象發生的特征并判斷這些現象的出現，以便對電機混沌運行進行控制。由于混沌系統的復雜性，在現實中混沌模型又多是未知的，所以由實際觀測的混沌時間序列來研究原混沌系統的動力學特征具有特別的意義；但是由于實際所能直接觀測的混沌數據又是極為有限的，如電機系統中只能觀測電機的外部行為，如轉速、轉矩，而無法實時測得電機內部行為，如電流、電壓等數據，因此由一維時間序列重構混沌吸引子就具有更為深廣的意義。

    通常，一維時間序列的混沌吸引子重構都是在低維條件下進行，通過確定****嵌入維數和延時時間間隔來重構吸引子。但是復雜的動力系統的混沌吸引子重構對其要求是極為苛刻的，而且****嵌入維數和延遲時間間隔的確定又富有技巧性并且需要一定的計算時間。因此，若可以在高維環境下對吸引子進行重構，就可以省去這些步驟，有助于混沌控制方案的實施。

1重構原理及重構模型

    對于混沌動力學的研究表明：長期演化的混沌動力系統中任一一維時間序列中都蘊含著整個系統演化的信息，因此可以從任一一維時間序列中提取長期演化的混沌系統的信息，進而對系統進行重構。Takens從理論上證明了可以從系統的一個變量的時間序列就可以重構一個同胚于原來系統的混沌吸引子。

    定理：設時為m維緊致流形，F為M上的C₂相量場，Φ_t是F產生的流，V是M上的光滑函數，由定義Φ_F,V(x)：M-R^2m+1是個嵌入。

    當嵌人定理應用于觀測到的一維時間序列中時，它隱含意味著存在一個擁有2m+1個變量光滑函數可以反映出原方程的動力學特征。以往的研究中^[2]，多采用計算****嵌入維數以便在較低維中重建混沌吸引子，但是當計算出的****嵌入維大于3時，低維中重構吸引子和高維中重構都一樣無法展示出混沌吸引子的樣子，因此本文中直接以在高維中進行吸引子重構，并觀察重構后方程任意三維的圖形和單一變量流圖進行判斷吸引子特征是否保留。

    高維相空間重構的思想就是：估計重構的動力系統的維數，將已觀測到的時間序列分成2m+1段子時間序列，將2m+l段子時間序列作為2m+1維的每維數據，通過最小二乘法擬合出光滑函數的方程系數，從而完成重構。所用的重構模型為：

2無刷直流電動機吸引子重構及對比分析

2 1吸引子重構

    在一定的假定條件下，經過坐標變換、線形仿射變換和時間尺度變換后^[3-5]，可得到深海機器人元刷推進電動機系統的數學模型的狀態方程：

式中：μ，γ，σ和υ為動力系統結構參數。u_d,u_q,T_l為經過變換后的直軸電壓、交軸電壓和負載轉矩。i_d、i_q、ω為變換后的直軸電流、交軸電流和電機轉速。

    設所研究的推進電機參數取值為μ=1.00、σ=5.58、y=19.55、v=0取