永磁步進電動機磁場的計算

郭  宏  王宗培  郭慶吉  劉桂芝(哈爾濱工業大學)

l  引  言

    為了保證步進電動機合理設計和可靠運行，需運用數值解法計算電機的磁場。電機電磁場的數值解法中，有限元法最常用。在有元法的整個計算過程中，非線性方程組的求解占有關鍵的地位。由于電機磁路中鐵磁材料部分的磁飽和特性，使得所建立的非線性方程組具有較復雜的結構形式，這就常常引起非線性方程組求解過程的不收斂性。本文通過對一臺二相永磁步進電動機空載磁場的實際解算，具體分析非線性方程組求解過程中出現的不收斂性，并采用可變步長的牛頓一拉斐森法解決牛頓一拉斐森法(定步長)大范圍不收斂，使得迭代初值的選取具有較大的任意性。

2二相永磁步進電動機空載磁場有限元計算的不收斂性

    二相永磁步進電動機的子具有24個齒(均布)，轉子具有18個磁極(****磁鋼，N、S均布)。據其結構特點，可以選擇圓周60o范圍為求解區域，其余區域內磁場分布與其相同或對稱。圖l是這一區域的剖分圖，共有344個節點，630個單元。

    利用矢量位A求解，邊界I、Ⅱ具有第一類邊界條件(A—O、，邊界Ⅲ、Ⅳ具有半周期邊界條件

在半周期邊界條件的處理上采用了不降階的處理方法，即在

邊界Ⅲ的節點上建立方程時，考慮邊界Ⅳ內側單元的作用，而在邊界Ⅳ的節點上建立方程時，亦考慮邊界Ⅲ內側單元的作用[1]。從而得非線性方程組：

    剛度矩陣[K]中的元素是通過A—B

這一順序過程求得的，K值與A值之間具有較復雜的關系。

    對式(1)采用傳統的牛頓一拉斐森法(定步長)求解，迭代公式是：

    [A]的初值[A]（0）的選取是認為規定媒質系數全部為線性（對于非線性材料，取磁化曲線線性段斜率），將非線性方程組直接作為線性議程組求解一次獲得。

     利用這種傳統的方法解算二相永磁步進電動機時，發現迭代是不收斂的，選擇取了不同的初值，仍得不到收斂結果，具體表現有兩種，一是迭代進行到某步以后，A值出現振蕩，達不到預定的精度；二是迭代最初幾步就出現齒磁密大于2.0T的情況，計算無法繼續。

     根據牛頓一拉非森法的局部收斂性定理，要解決不收斂性，需進一步選擇非常接近

真值的初值[2][A](0)。但是，要選擇這樣的初值，需經過反復的試算，計算量太大，而且，不同的區域需選擇不同的初值才行，這樣做是很困難的。

     通過反復的摸索，采用了一種稱為可變步長的牛頓一拉非森法，解決了磁場計算中出現的不收斂性，使得初值的選取是大范圍的，提高了收斂性。

3   可變步長的牛頓-拉非森法的實際應用

    可變步長的牛頓-拉非森法迭代公式為：

    與傳統的牛頓一拉非森法（定步長）比較，主要區別在于增加了變步長因子變步長因子[ω]<k>可隨迭代步數的不同而自動調整。[ω](k)的調整是依據于每步迭代的誤差[R]-[F](k)而定的。

     在對這臺二相永磁步進電動機空載磁場進行解算時，發現位于邊界Ⅲ、Ⅳ上的點191,213,...,301;212,234,...3