單調控制系統的簡化定理與多重穩定性
朱廣慶，何希勤
（遼寧科技大學理學院，遼寧鞍山 114051）
摘 要：多重穩定性是許多分子生物模型重要的動力學行為，它在分析細胞分裂和生長現象中起到關鍵性的作用。為了了解細胞內的復雜的調節網絡的動力學行為，將其數學模型進行單調分解為若干個單調控制系統的互聯。對具有惟一定義的穩定狀態響應的單調控制系統，引入了具有保持局部穩定性質的簡化系統，根據簡化系統的平衡點與原來單調控制系統的平衡點之間存在的一一對應的映射關系，可推知單調控制系統的平衡點的位置及其穩定性，進而通過確定單調控制系統的平衡點的位置及平衡點的穩定性，來確定整個互聯單調控制系統的平衡點的位置及平衡點的穩定性。由于簡化系統降低了原來生物系統模型的雛數，這為分析復雜生物系統的穩定性提供了一種可行的途徑。
關鍵詞：多重穩定性；單調控制系統；簡化系統；平衡點
中圖分類號：tp 27 文獻標識碼：a
l引言
在基因后組時代，生物學家和數學家面臨的****的挑戰就是通過對復雜的細胞內的調節網絡的研究來了解細胞的具體行為。在細胞內，是由蛋白質、dna，rna、代謝產物和其他物質組成的調節網絡來處理外部的環境信號、控制內部事件（如基因表達）以及產生適當的細胞響應。尤其支持多重穩定性和周期性行為的調節網絡近年來越來越受到人們的關注：多重穩定性是許多分子生物模型重要的動力學行為，在分析細胞分裂和生長現象中起到關鍵性的作用。多重穩定性及相關的滯后和振蕩現象是分子系統生物研究的重點。
在應用單調控制系統理淪時所面臨的****的困難就是決定穩定狀態的位置和數量。文獻[3]把復雜的系統分解成由帶有單輸入單輸出的單調系統通過單位反饋連接成具有惟一定義的i/o特性和滿足單調性條件的閉環系統，然后根據簡化定理把單調分解后的閉環系統簡化為一維離散迭代方程。然而文獻[3]，考慮的i/o特性及i/s特性都是單值函數，本文通過把文獻[3]中的結論推廣到i/s及l／o特性是多值函數的情況，介紹能保持原單調系統的局部穩定性質的簡化系統及通過分柝簡化系統的穩定性來推斷原單調系統的穩定性。
2預備知識
單調動力系統通常是定義在有序巴拿赫空間上的，這里所討論的有序巴拿赫空間是一個實空間b，且具有一個奇異的非空閉子集。在這篇文章里，所討論的k是定義在歐式空間上的，且是一個非空閉凸集。它具有以下幾種性質：
由上述正錐k的定義，引入序的概念。
定義1（偏序關系）若x1≥x2，當且僅當x1-x2∈k則稱≥為定義在k上的偏序關系。
考慮具有輸入輸出的非線性控制系統：
式中，x∈x，u ∈u，y∈y，且x是rn上的一個開子集的閉包且賦予了由kx∈r所誘導的序；輸出集y和輸入集u也分別是其自己內部的閉包且賦予了由錐ky∈r和ku∈rp所誘導的序。
在不引起混淆和從文中司以知其意的情況下，可以統一用k來代替kx，ky，ku。同時，假設：
f：x×u—y rn在xxu上是連續可微的且f在x上滿足局部利普希茨條件和在u 上是一致連續的，函數h：x一y在x上也是連續的。
下面給出單調控制系統的定義。
定義2（單調控制系統） 若系統(1)滿足下面給出的條件：
則稱系統(1)是單調控制泵統。
x(i，εi，ui)是微分方程x(t)=f(x(t)，u(t))且滿足初始條件x(0)=ε的解。由單調控制系統的定義，還可進一步給出強單調控制系統的定義。
定義3（強單凋控制系統） 若系統(1)滿足下面給出的條件：
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