摘    要：針對分?jǐn)?shù)階pi^λd^μ控制器參數(shù)整定研究，回顧了分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)描述，采用基于改進(jìn)差分進(jìn)化算法的分?jǐn)?shù)階pi^λd^μ控制器參數(shù)整定方法，并利用oustaloup，euler，tustin，al-alaoui方法實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階微分算子、仿真結(jié)果表明，該算法計算精度高，收斂快，基于euler，al-alaoui方法分?jǐn)?shù)階微分算子所設(shè)計的控制器能滿足預(yù)設(shè)的性能指標(biāo)，但oustaloup，tustin分?jǐn)?shù)階微分算子由于引入了額外的極點(diǎn)，影響了主導(dǎo)極點(diǎn)，不能，禹足預(yù)設(shè)的性能指標(biāo)。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；參數(shù)優(yōu)化；差分進(jìn)化；逼近；極點(diǎn)

中圖分類號：tp 273    文獻(xiàn)標(biāo)識碼：a

    對于一些復(fù)雜的實(shí)際系統(tǒng)，如加熱爐等，采用分?jǐn)?shù)階微分方程建立的模型比整數(shù)階模型更能反映系統(tǒng)本身的動態(tài)特性：在分?jǐn)?shù)階微積分理論的基礎(chǔ)上，作為整數(shù)階pid控制器的擴(kuò)展，i．podlubny提出了分?jǐn)?shù)階pi^λd^μ控制器，a．oustaloup提出了控剎器。分?jǐn)?shù)階pi^λd^μ控制器引入了積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的階次λ和μ，相比于整數(shù)階pid控制器，多了兩個可調(diào)節(jié)參數(shù)。已有研究結(jié)果表明，pi^λd^μ控制器參數(shù)可調(diào)節(jié)范圍更大，調(diào)節(jié)方法更靈活，魯棒性更強(qiáng)，具有更優(yōu)的控制效果。

  差分進(jìn)化是基于群體智能的實(shí)數(shù)編碼進(jìn)化算法。相比于其他進(jìn)化算法，差分進(jìn)化具有記憶個體****解、共享群體信息的特點(diǎn)，全局搜索能力強(qiáng)、收斂速度快、魯棒性強(qiáng)。

  本文簡介了分?jǐn)?shù)階微積分、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階pi^λd^μ控制器的數(shù)學(xué)描述及常見的分?jǐn)?shù)階pi^λd^μ控制器的參數(shù)整定方法，基于主導(dǎo)極點(diǎn)法和差分進(jìn)化整定分?jǐn)?shù)階pi^λd^μ控制器參數(shù)，并進(jìn)行了實(shí)例仿真，仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性與正確性。

    1)分?jǐn)?shù)階微積分分?jǐn)?shù)階微積分是求任意階次積分和微分的一種數(shù)學(xué)方法，它是整數(shù)階微積分的推廣。riemann-liouville分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

    分?jǐn)?shù)階微分定義有caputo定義、 rl定義和cl定義。其中，rl定義常用于數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程中，而在工程實(shí)際應(yīng)用中，一般采用gl定義或caputo定義。

    riemann-liouville分?jǐn)?shù)階微分定義如下：

 

    cnimvald-letnihw分?jǐn)?shù)階微分定義如下：

    2)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

    ①分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)拉普拉斯變換描述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)最常用的數(shù)學(xué)工具是拉普拉斯變換。函數(shù)f(t)的次積分的拉普拉斯變換為

當(dāng)f(0)=d₀¹(o)= … =d_oⁿf(0) =0時，函數(shù)f(t)的次微分的拉普拉斯變換為

  基于式(4)，式(5)的定義，對于分?jǐn)?shù)階微積分方程，在t=0時刻有輸入u(t)和輸出y(t)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示為

    ②分?jǐn)?shù)階pi^λd^μ控制器與整數(shù)階pid控