摘    要：研究了一類畀結構混沌全狀態同步控制問題。分別以CoulleL系統與Rossler系統為目標和響應系統，采用backstepping方法設計了保持兩系統之間所有狀態同步的連續時間控制器，為了把連續控制器更好地應用到計算機采樣控制系統中，在連續控制器設計的基礎之上，基于采樣系統實用半局漸近穩定理論，又進行了采樣同步控制器的再設計研究。仿真結果證明了所設計的連續及采樣同步控制器的有效性，并進一步表明所設計的采樣同步控制器，與由連續控制器直接離散化所得的控制器相比，具有更快的收斂速度，而且在保證系統穩定的前提下還具有更寬的采樣周期選擇范圍？

關鍵詞：異結構；混沌；同步；采樣控制；反步法

中圖分類號：TP 273    文獻標識碼：A

    已成為非線性科學研究熱點的混沌控制與同步，在保密通信、醫學、生物等領域具有很大的應用潛力和發展前景，現已提出的混沌向步方法中多數集中于同結構混沌同步。異結構混沌同步也正越來越多地受到人們的關注，有的異結構同步只實現兩混沌系統間的某個對應狀態的同步，本文以Coullet系統為目標系統，以Rossler系統作為響應系統，給出了一種保持兩系統間3個狀態分別同步的連續時間控制器Backstepping設計方法，并且通過仿真試驗證明了控制器的有效性。

    如果把按照連續控制理論所設計的控制器直接應用到計算機采樣系統之中，采樣系統往往隨著采樣周期的增加而趨于不穩定。所以在非線性控制領域內針對采樣后系統能否穩定，以及性能如何，就成了一個必要的研究課題。

  本文在所設計的連續同步控制器的基礎上，基于采樣系統半局實用漸近穩定理論法，對連續同步控制器進行了再設計，仿真結果表明所設計的采樣同步控制器與由連續同步控制器直接離散化所得的控制器相比，具有更快的收斂速度和更寬的采樣周期選擇范圍，這樣就為控制器算法的實現爭取到更多的運算時間。

    以Rossler系統作為響應系統，把同步控制器加在其第3個方程中，此時系統的動力學方程描述為

    以Coullet系統為且標系統，其方程如下：

  當參數a1=0 2，b1=0 2，c1= 5.7，a2=-0. 45，b2=1.1，c2=0.8時，兩系統都處于混沌狀態：定義誤差變量：

  

對式(4)求一階導數后帶入式(1)，可得

    為了便于采用backstepp/ng方法進行設計（需要嚴格下三角結構），首先交換上式中e1和e2的下標，再互換第一個方程與第二個方程的位置，令：

    則誤差系統狀態方程式(5)可改寫為

 

    此時只要選取合適的控制輸入u使系統(7)的誤差變量e1（i=1，2，3）全部收斂到零，就能實現系統(1)與系統(2)的同步。以下將嘗試使用back stepping方法逐少求取同步控制器u。

    考慮(e1)子系統，把e2當成子系統e1的虛擬控制器，令w1=e1選取第一個Lyapunov函數：則v1(e1)沿著(e1)子系統的時間導數V1(e1)=eiei =el(e2 +aie, +A)，令w2=e2- al，并且α=-k1el -alel -A，則v1(e1)= -k1w1² +w2e1。其中，k1為選定的正常數，下文也是這樣。

    接下來考慮(e1，e2)子系統，把e3當作其虛擬控制器，選取第2個Lyapunov函數：

         

    則V2(e1，e2)沿(e1，e2)子系統的時間導數：

    最后考慮系統（e1，e2，e3），選�。�

  

則V3（e1，e2，e3）的時間導數：

如果選取：

   為了使e2和e3隨時間t也能收斂于0。實現Coullet系統與Rissler系統3個狀態的完全同步，可在控制期設計前先對響應系統盡享補償控制，使補償后的誤差系統不含A，B項，選�。�

     

則補償后的響應系統為

 

依然沿用式（3）定義的誤差變量，對這些變量求一階導數后帶入式（11）中，可得：

 

依照前面的方法交換式（12）中的e1和e2的下表并互換第一個方程與第二個方程的位置，然后按照backsteping方法對系統（12）重新進行控制器設計，于是得到

最后再交換會e1和e2的下表，得：

 

    考慮如下系統：

             

假設f (O)=0且f和g連續可微。采樣控制系統中控制信號U(t)=u(KT)=u(k)，為分段連續信號，狀態變量η(k)=η(kT)和ξ(k)=ξ(KT)分別可以在采樣時刻kT被測量，其中，T>O為采樣周期，非線性系統(14)所對應的精確離散模型和Euler近似離散模型分別表示為

    大多情況下，系統( 17)對應的精確離散模型是不可得的，即使可得往往也不能保持如式(17)的嚴格反饋結構，而Euler近似離散模型不但易求，且能夠保持模型的嚴格反饋結構，這是在以下的設計中選用非線性系統Euler近似離散模型的原因。

    對離散系統模型：

  

    有以下2個定義：

    定義1 稱系統(21)是半局實用漸近穩定( SPAS)的，如果存在函數βEKl，對于任意正實數對(Δ,δ),都有 T>0使對所有和初始狀態系統(18)的解都滿足.

    由定義l可以直接得出，如果系統式(21)是全局漸進穩定的，那么其必定是半局實用漸近穩定。

    定義2 稱連續可微函數V：Rⁿ-,R是系統(21)的半球實用漸近穩定Lyapunov函數，如果存在K；使得對任意正實數對，存在L，T >都滿足下面的式子：

    定理l如果(Vt，ut) ，那么ur也可以使F_TSPAS。

  下面將進行采樣同步控制器設計，首先交換誤差系統(12)中變量ei和e：的下標，然后求出其Euler近似離散模型：

令

   

則式（23）可以改寫為：

   

根據文獻{8}中訂立2可以求出能夠使系統式（16）半球實用漸近穩定的一個SPAS對（V（K），v（K）），其中：

所以（V（K），v（K））是我差系統的Euler近似離散形式（14）的一個SPAS對，由定理q可知，所求的V（K）同樣可以使得系統式精確離散模型保持半球實用漸近穩定。

再把所得控制器v(K)代到（24）中，然后再次交換e1和e2的下表，可得最終的采樣西戎同步控制器表達式為：

通過比較U3（K），可知：

通過計算可以得出：

    由此可以看出，所設計的采樣控制器u(k)比直接把連續控制器離散化所得到的控制器具有更快的收斂速度。

    目標Coullet系統在相圖中的混沌吸引子，如圖1所示。

   

    當加入連續時間同步控制器(u1，u2，u3)后，則響應系統同步誤差e(t)=(e₁²(t)+ e₂² (t)+ e₃² (t))隨時間t快速收斂到0，如圖2所示。

   

    這表明在控制器(u1，u2，u3)作用下兩系統間所有狀態均保持了同步。設定采樣周期為O l s，兩種采樣控制器同步誤差比較，如圖3所示。

  采樣系統往往隨著采樣周期的增加而趨于不穩定，當T=0. 35 s時，控制器已經不能使系統穩定，此時的系統誤差e(t)如圖4所示。

    

    而在控制器作用下，響應系統仍能在一定誤差范圍與目標系統保持同步，誤差e(t)隨時間變化曲線，如圖5所示。

      

    本文以Coullet系統為目標系統，以Rossler系統為響應系統，分別設計了連續控制器和采樣控制器來實現兩系統之間的全狀態同步，并進一步比較了所設計的采樣控制器與由連續控制器直接離散化所得的控制器之間的性能，仿真結果證明了所設計控制器的優越性。