靜電諧波微電機(jī)的靜電一結(jié)構(gòu)耦合有限元分析
秦磊1.2，許立忠1
（1 燕山大學(xué)，秦皇島066004；2上海微電子裝備有限公司，上海201203）
摘要：該文介紹了靜電諧波微電機(jī)的基本工作原理。通過分析系統(tǒng)中存在的靜電結(jié)構(gòu)耦合關(guān)系，并進(jìn)行離散化處理，建立了結(jié)構(gòu)場(chǎng)和靜電場(chǎng)的有限元耦合平衡方程。討論了靜電場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)之間存在的耦合條件和各場(chǎng)的邊界條件。由結(jié)點(diǎn)映射推導(dǎo)出位移和力在兩物理場(chǎng)交界面上傳遞的表達(dá)式。總結(jié)了靜電一結(jié)構(gòu)耦合問題的迭代求解框圖和詳細(xì)步驟。通過對(duì)系統(tǒng)的有限元仿真，得到了柔輪的徑向位移分布及其隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律。所得的結(jié)果為進(jìn)一步研究微電機(jī)的性能提供了依據(jù)。
關(guān)鍵詞：靜電諧波；靜電結(jié)構(gòu)耦合；耦合條件；邊界條件；有限元
中圖分類號(hào)：TM359. 9：THl32. 2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：
0引 言
微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS)是將微細(xì)加工技術(shù)與超精密加工技術(shù)相結(jié)合，以特征尺寸為(0. 5 - 500) ym的可動(dòng)部件組成的，高度集成機(jī)械、電子與控制于一體的系統(tǒng)。隨著系統(tǒng)尺寸的不斷減小，靜電力表現(xiàn)出比機(jī)械力和電磁力更明顯的優(yōu)勢(shì)。靜電驅(qū)動(dòng)逐漸成為MEMS領(lǐng)域最常用的驅(qū)動(dòng)方式。研究多能量域耦合問題則一直是MEMS領(lǐng)域關(guān)注的重要課題。
Endemano等給出了一種醫(yī)用雙定子雙轉(zhuǎn)子的擺動(dòng)式靜電電機(jī)的扭矩計(jì)算模型；SaITOS t等闡述了具有8個(gè)定子電極的圓柱式和圓錐式擺動(dòng)靜電電機(jī)的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行了一系列分析和測(cè)試。他們提出的模型均存在輸出軸擺動(dòng)，轉(zhuǎn)子與定子之間由于摩擦導(dǎo)致靜電能損失等缺陷。本文基于諧波傳動(dòng)原理提出一種新型靜電驅(qū)動(dòng)電機(jī)——靜電諧波微電機(jī)。
1靜電諧波微電機(jī)的工作原理
如圖l所示為靜電諧波微電機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖。圖l(a)中，傳動(dòng)的柔輪1是半徑為r、壁犀為h，有效變形長度為l的薄壁鋁制圓柱，柔輪外面是厚度為t的薄層空氣。定子是空氣層之外的6塊用來在不同時(shí)刻施加電壓的互相絕緣的金屬導(dǎo)體2，它們的內(nèi)壁需經(jīng)過陽極氧化處理，以獲得一層很薄的電靜電諧波微電機(jī)的靜電一結(jié)構(gòu)耦合有限元分析秦磊，等介質(zhì)層。如圖l(b)所示，在定子2的兩個(gè)相對(duì)的對(duì)稱角度[ -p，p]即扇區(qū)AA上施加幅值相等、極性
相反的電壓后，會(huì)在柔輪1的表面產(chǎn)生一定的感應(yīng)電荷，于是內(nèi)外金屬體之間形成靜電場(chǎng)，所產(chǎn)生的電場(chǎng)力如圖中所示。在靜電場(chǎng)力的作用下，柔輪必然會(huì)發(fā)生一定的變形。將幅值相等、極性相反的電壓按/所示方向順序施加于不同的相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)扇區(qū)AA，BB和CC內(nèi)則柔輪會(huì)在相應(yīng)的位置發(fā)生變形，由于變形的周期性，柔輪會(huì)因此而沿n。所示方向轉(zhuǎn)動(dòng)起來。如上所述，A，B，C，A，B和C為6路幅值相等的直流開關(guān)信號(hào)，同一時(shí)刻僅兩個(gè)對(duì)應(yīng)扇區(qū)施加極性相反的電壓，并將這種電壓施加方式沿某一方向順序切換至下一扇區(qū)。
在靜電諧波微電機(jī)系統(tǒng)中，靜電驅(qū)動(dòng)使柔輪發(fā)生變形從而產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，變形的柔輪又反過來改變了靜電場(chǎng)的分布，如此反復(fù)直至平衡。系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)有賴于柔輪的變形，準(zhǔn)確而高效地分析柔輪在靜電場(chǎng)力作用下的變形是研究系統(tǒng)承載能力的關(guān)鍵所在。本文基于對(duì)系統(tǒng)耦合關(guān)系的分析，建立了有限元耦合平衡方程，探討其耦合條件和邊界條件，并重點(diǎn)給出了柔輪徑向位移的分布規(guī)律。
2靜電一結(jié)構(gòu)耦合方程
2.1結(jié)構(gòu)場(chǎng)平衡方程
當(dāng)電壓緩慢地施加于靜電場(chǎng)的邊界上時(shí)，整個(gè)耦合問題可視為是靜態(tài)的。靜電諧波微電機(jī)的柔輪受外層電場(chǎng)的作用將發(fā)生變形，遵循彈性結(jié)構(gòu)有限元理論的力平衡方程：
其中，k為結(jié)構(gòu)場(chǎng)的整體剛度矩陣；δs為結(jié)點(diǎn)位移列陣；Fs（φ，x）為電場(chǎng)作用于柔輪的力向量，很顯然，電場(chǎng)力的大小由靜電場(chǎng)的電勢(shì)西和電場(chǎng)內(nèi)結(jié)點(diǎn)的位移x共同決定。
2.2靜電場(chǎng)平衡方程
柔輪外層的電場(chǎng)可由拉普拉斯方程及其邊界條件來描述：
式中，ε為介電常數(shù)；Ω為靜電場(chǎng)場(chǎng)域，場(chǎng)域邊界由τb和τo組成；φ(x)為電場(chǎng)的電勢(shì)，其分布受電場(chǎng)空間結(jié)點(diǎn)位移的影響，而電場(chǎng)空間的變化受柔輪變形的影響；n為邊界面的法線方向。上述邊值問題等價(jià)于泛函，(p(z))的最小值問題：
當(dāng)前問題中，L包括兩部分：與柔輪1的外表面緊貼的空氣層內(nèi)表面，其電勢(shì)為0；與定子2的內(nèi)表面緊貼的空氣層外表面，其電勢(shì)由施加在定子2上的電壓U給出。
將上式通過有限元離散化而轉(zhuǎn)化為一組以結(jié)點(diǎn)電勢(shì)分量為未知量的方程組：
并且
其中，矩陣P中的元素Pij為與單元形函數(shù)Ni，以以及相應(yīng)單元子域Ωe相關(guān)的系數(shù)；下角標(biāo)Ω表示矩陣中對(duì)應(yīng)于靜電場(chǎng)域以內(nèi)的部分，τb表示對(duì)應(yīng)于場(chǎng)域門邊界的部分；Ω為靜電場(chǎng)的電勢(shì)向量。
2.3靜電一結(jié)構(gòu)耦合方程
電場(chǎng)空間內(nèi)結(jié)點(diǎn)位移z的即時(shí)分布可用類似于結(jié)構(gòu)場(chǎng)的有限元方程描述：
至此，在以上方程中，方程(1)和(5)之間、方程(4)和(5)之間構(gòu)成直接的耦合關(guān)系。
運(yùn)用Newton迭代法對(duì)上述兩場(chǎng)的耦合問題進(jìn)行求解，最終的求解矩陣方程組應(yīng)為：
其中，Rs，RE和Rm。分別表示各方程在迭代過程中的殘差向量，對(duì)由式(6)、式(7)和式(8)組成的方程組進(jìn)行線性化，可得
式中A為雅克比矩陣
由式(9)可得，笫n次迭代計(jì)算場(chǎng)變量增量的公式為：
2.4耦合條件與邊界條件
設(shè)σs表示結(jié)構(gòu)場(chǎng)的應(yīng)力張量，σE表示靜電場(chǎng)的麥克斯韋應(yīng)力張量，n表示柔輪和電場(chǎng)的交界面，上某處的法線方向，則交界面上二者之間的力平衡關(guān)系如下：
而交界面，上兩場(chǎng)之間對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位移滿足如下的相容條件：
式中，aE為交界面上靜電場(chǎng)內(nèi)某點(diǎn)的位移。
顯然，在交界面，上，還應(yīng)存在連繽性條件：
3位移和力的傳遞關(guān)系
3.1位移的傳遞
記靜電場(chǎng)靠近交界面，的表面為τE，結(jié)構(gòu)場(chǎng)靠近交界面τ的表面為τs。由于靜電場(chǎng)與結(jié)構(gòu)場(chǎng)的網(wǎng)格劃分在交界面，上的結(jié)點(diǎn)不對(duì)應(yīng)，通常需要結(jié)點(diǎn)映射的方法實(shí)現(xiàn)兩場(chǎng)之間的位移或力的傳遞。設(shè)將靜電場(chǎng)邊界τE上的結(jié)點(diǎn)Hk映射至結(jié)構(gòu)場(chǎng)邊界τE上得到點(diǎn)Sk，則結(jié)合式(121，再利用結(jié)構(gòu)場(chǎng)的單元形函數(shù)Hk，可得靜電場(chǎng)中該結(jié)點(diǎn)的位移為：
式中，σs為結(jié)構(gòu)場(chǎng)單元內(nèi)結(jié)點(diǎn)i的位移is為結(jié)構(gòu)場(chǎng)單元子域內(nèi)的單元節(jié)點(diǎn)數(shù)目。
運(yùn)用式(12)、式(13)和式(14)，將邊界上的n個(gè)結(jié)點(diǎn)映射至τs上時(shí)，交界面上的位移由τs上n個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移表示為：
式中，τm為mxn的轉(zhuǎn)換矩陣，
可見，T是由結(jié)構(gòu)場(chǎng)的單元形函數(shù)構(gòu)成。
3.2力的傳遞
已知在靜電場(chǎng)的邊界面τE上，某點(diǎn)j的電場(chǎng)力由下式給出：
式中，dA為τE上的增量面積。
用σ和σ分別表示靜電場(chǎng)邊界τs和結(jié)構(gòu)場(chǎng)邊界τE上所允許的虛位移，則結(jié)合式(14)可得，在邊界面τE上的n個(gè)結(jié)點(diǎn)的電場(chǎng)力所做的虛功可以表示為：
又在結(jié)構(gòu)場(chǎng)邊界面τs體力所做的虛功可由下式給出：
根據(jù)能量守恒原理，靜電場(chǎng)與結(jié)構(gòu)場(chǎng)在任何時(shí)間步冉通過交界畫，所傳遞的能量收支平衡，故由式(16)和(17)可得：
則得交界面f上力的傳遞公式為
式中，F(xiàn)E為電場(chǎng)力向量。
4耦合問題的迭代步驟
對(duì)結(jié)構(gòu)場(chǎng)和靜電場(chǎng)模型進(jìn)行有限元離散化以后，兩場(chǎng)之間通過交界面，兩側(cè)的結(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)位移和力的傳遞，整個(gè)耦合場(chǎng)問題的求解流程可用圖2表示為：
整個(gè)耦合方程組進(jìn)行迭代的過程可以歸結(jié)為以下幾個(gè)步驟：
(1)在交界面τ上初始化：
(2)將結(jié)構(gòu)場(chǎng)的位移轉(zhuǎn)換至靜電場(chǎng)：
(3)由方程(7)求解靜電場(chǎng)內(nèi)的電勢(shì)分布函。并進(jìn)一步求得電場(chǎng)力F
(4)將靜電場(chǎng)力轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)場(chǎng)：
(5)求解方程(6)得到結(jié)構(gòu)場(chǎng)的位移；
(6)設(shè)指定的收斂誤差為X，則由范數(shù)表達(dá)式驗(yàn)證收斂：
5有限元仿真
給定如表1所示系統(tǒng)參數(shù)的靜電諧波微電機(jī)。其中，E，μ分別為柔輪材料的彈性模量和泊松比。
由于靜電諧波微電機(jī)的驅(qū)動(dòng)和承載能力在很大程度上受到徑向變形的影響，因此以分析其徑向位移為重點(diǎn)，所得其分布情況如圖3所示：
分析圖3可知，位移w在φ=0，在180度截面上達(dá)到掙得****值，在α截面上層周期性變化規(guī)律，在α=0.01m截面上，位移w趨于0
進(jìn)一步研究徑向位移w隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律，可得圖4-圖6。
從圖4至圖6可知：
1)在α=0、φ=o度截面上，位移W隨電壓U的增大而增大；
2)在α=0、φ=o度截面上，位移w隨半徑r的增大而增大；
3)在α=0、φ=0度截面上，位移W而隨空氣隙厚度f的增大而減小。因?yàn)楫?dāng)空氣隙厚度增大時(shí)，相同電壓下產(chǎn)生的電場(chǎng)力會(huì)相應(yīng)減小。
靜電諧波微電機(jī)的輸出扭矩隨徑向位移的增大而增大。綜上所述，為了產(chǎn)生較大的電場(chǎng)力，以使柔輪發(fā)生較大的徑向變形w，可以適當(dāng)增大電壓U、半徑r，并盡量減小空氣隙厚度l。
6 結(jié) 論
靜電一結(jié)構(gòu)耦合是廣泛存在于諸多MEMS中的耦合作用很強(qiáng)的非線性問題，通過分析結(jié)構(gòu)場(chǎng)和靜電場(chǎng)各自的平衡方程，建立耦合平衡方程可以清晰地闡述大多數(shù)結(jié)構(gòu)場(chǎng)和靜電場(chǎng)的耦合關(guān)系。分析兩物理場(chǎng)之間的結(jié)點(diǎn)映射關(guān)系，可以得到轉(zhuǎn)換矩陣L，在兩場(chǎng)之間進(jìn)行位移和力的傳遞。結(jié)合既定的一系列位移和電壓邊界條件，通過Newton方法可以實(shí)現(xiàn)有限元方程組的迭代求解。
文中重點(diǎn)給出了柔輪徑向位移的變化規(guī)律，以及各種系統(tǒng)參數(shù)對(duì)徑向位移變化的影響，研究結(jié)果為分析系統(tǒng)的承載能力奠定了基礎(chǔ)，也為進(jìn)一步研究該種微電機(jī)的性能提供了依據(jù)。
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